改進牛頓迭代法公式

爲了改進牛頓迭代法在某些情況下失效的問題，對其公式進行了改進，即：x_{n+1} = x_n - c * f(x_n) / f'(x_n)，其中 c 是常數（通常介於 0 和 1 之間）。此公式通過防止在 f'(x) 爲零或接近零時失效來提高穩定性。最佳的 c 值取決於方程和初始條件，通常建議使用較小的值以提高穩定性或較大的值以加速收斂。

改進牛頓迭代法的公式

牛頓迭代法是一種迭代方法，用於求解方程的根。其基本公式爲：

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

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其中：

• (x_n) 是第 (n) 次迭代的近似值
• (f(x)) 是要求解的函數
• (f'(x)) 是函數 (f(x)) 的導數

然而，牛頓迭代法在某些情況下可能會失效，例如當 (f'(x)) 爲零或接近零時。因此，需要對牛頓迭代法的公式進行改進。

改進公式

一種改進的牛頓迭代法公式是：

x_{n+1} = x_n - c * f(x_n) / f'(x_n)

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其中：

• (c) 是一個常數（通常介於 0 和 1 之間）

這個改進的公式可以防止迭代在 (f'(x)) 爲零或接近零時失效。當 (c) 取值爲 0 時，改進後的公式與原始的牛頓迭代法公式相同。當 (c) 取值接近 1 時，改進後的公式更接近於割線法的公式，這是一種更穩定的迭代方法，但收斂速度較慢。

選擇 (c) 的值

最佳的 (c) 值取決於要求解的特定方程和迭代的初始條件。通常，建議使用較小的 (c) 值（例如 0.5 或 0.75）來提高穩定性，但較大的 (c) 值（例如 0.9 或 1）可以加快收斂速度。

實現

改進的牛頓迭代法可以通過以下算法實現：

1. 給定函數 f(x) 和導數 f'(x)2. 設置初始近似值 x03. 設置常數 c4. 循環直到滿足終止條件（例如，當 |x_{n+1} - x_n| < ε 時）：5.     計算 f(x_n) 和 f'(x_n)6.     計算 x_{n+1} = x_n - c * f(x_n) / f'(x_n)7.     設置 x_n = x_{n+1}

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