matlab不定積分

matlab不定積分

等價無窮小替換

∵ln(1+x)~x

∴ln[e^sinx+³√（1-cosx）]=ln[1+e^sinx+³√（1-cosx）-1]~e^sinx+³√（1-cosx）-1

∵arctanx~x

∴arctan[2³√（1-cosx）]~2³√（1-cosx）

∴原式=（1/2）lim(x→0) [e^sinx+³√（1-cosx）-1]/³√（1-cosx）

=(1/2){lim(x→0) [e^sinx-1]/³√（1-cosx）+ lim(x→0)³√（1-cosx）/³√（1-cosx）}

=1/2+(1/2)lim(x→0) [e^sinx-1]/³√（1-cosx）

再用等價無窮小替換

∵e^x-1~x

∴e^sinx-1~sinx~x

1-cosx~x²/2

∴原式=1/2+(1/2)lim(x→0) [e^sinx-1]/³√（1-cosx）

=1/2+(1/2)lim(x→0) x/³√（x²/2）

=1/2+(1/2)lim(x→0) ³√（2x）

=1/2

試用matlab如下數值積分其中R r爲常量

題主的做法主要存在兩點問題：

1、quad函數用於計算數值積分，函數表達式中不能包含符號量；

2、被積函數的表達式應該寫成關於被積變量的向量化的形式（也就是應該用點運算）。

參考代碼：

R=1;

syms L;

rr = 0 : 0.1 : 1;

for ii = 1 : length(rr)

r = rr(ii);

f = @(l)(acos((1+l*l-r*r)/(2*l))+r*r*acos((r*r+l*l-1)/(2*r*l))-0.5*sqrt(4*r*r-(1+r*r-l*l)^2))*2*l/(pi*r^4);

fun = @(L) arrayfun(f,L);

J(ii) = quadl(fun,0,r);

end

plot(rr, J)

或者也可以借用樓上 楓簫1 的部分代碼，寫成：

R=1;

syms L;

rr = 0 : 0.1 : 1;

for ii = 1 : length(rr)

r = rr(ii);

SOA=R^2*acos((R^2+L^2-r^2)/(2*R*L))+r^2*acos((r^2+L^2-R^2)/(2*r*L))-...

0.5*sqrt(4*R^2*r^2-(R^2+r^2-L^2)^2);

PAB=SOA/(pi*r^2);

p=2*L/r^2;

f=PAB*p;

fun = eval(['@(L)' vectorize(f)]);

fun = @(l) arrayfun(@(L)eval(f),l);

J(ii) = quadl(fun,0,r);

end

plot(rr, J)

以上代碼雖可以運行，但被積函數存在問題——SOA的第一項反餘弦的值可能出現複數（因爲在r稍小的情況下，acos的參數大於1），請題主再仔細檢查一下。

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