高維度牛頓迭代公式

高維度牛頓迭代公式如下：迭代公式：x^(k+1) = x^k - j(x^k)^(-1) * f(x^k)雅可比矩陣 j(x^k) 在 x^k 處表示函數 f(x) 的變化率。迭代基於假設函數 f(x) 在解的鄰域內可近似爲二次函數。迭代從初始猜測值 x^0 開始，重複計算雅可比矩陣的逆矩陣 j(x)^(-1)。直到估計值變化小於閾值，迭代過程終止，x^(k+1) 接近方程組解。

高維度牛頓迭代公式

牛頓迭代法是一種求解方程組的高效方法，在高維度問題中也能很好地應用。高維度牛頓迭代公式如下：

公式：

x^(k+1) = x^k - J(x^k)^(-1) * f(x^k)

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其中：

• x^k 是迭代過程中的第 k 步估計值
• x^(k+1) 是通過迭代更新後的第 k+1 步估計值
• J(x^k) 是在 x^k 處函數 f(x) 的雅可比矩陣
• f(x^k) 是在 x^k 處函數 f(x) 的值

展開說明：

牛頓迭代法基於一個關鍵假設：在解的鄰域內，函數 f(x) 可以用一個二次函數近似。這個近似函數的極小值點就是迭代的下一個估計值。

雅可比矩陣 J(x) 是 f(x) 的一階導數構成的矩陣，它描述了 f(x) 在 x 處的變化率。J(x)^(-1) 是 J(x) 的逆矩陣，它提供了 f(x) 變化率的逆向映射。

迭代過程從一個初始猜測值 x^0 開始，然後重複應用公式更新估計值。在每個迭代步驟中，我們使用當前估計值 x^k 計算雅可比矩陣 J(x^k) 和函數值 f(x^k)。然後我們求解雅可比矩陣的逆矩陣 J(x^k)^(-1) 並用它乘以負的函數值 f(x^k)。最後，我們將這個結果從當前估計值 x^k 中減去，從而得到更新後的估計值 x^(k+1)。

迭代過程一直進行，直到我們達到一個預定的收斂標準，例如估計值之間的變化小於一個給定的閾值。此時，x^(k+1) 將是方程組解的一個近似值。

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