高中數學三角函數和差化積公式

三角函數和差化積公式將正弦或餘弦函數的和或差化爲積的形式。和角公式：1. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b 2. cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b 差角公式：1. sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b 2. cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b

三角函數和差化積公式

和差化積公式是將正弦或餘弦函數的和或差化爲積的形式。

和角公式：

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin Bcos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B

差角公式：

sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin Bcos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B

證明：

和角公式：

使用單位圓和歐拉公式來證明。令：

A = θ₁, B = θ₂

sin θ₁ = y₁, cos θ₁ = x₁, sin θ₂ = y₂, cos θ₂ = x₂

則：

sin(θ₁ + θ₂) = y₁y₂ - x₁x₂cos(θ₁ + θ₂) = x₁y₂ + y₁x₂

運用勾股定理，得到：

x₁² + y₁² = x₂² + y₂² = 1將 x₁ 和 y₁ 代入第一個等式得到：

sin(θ₁ + θ₂) = y₁y₂ - x₁x₂= y₂(x₁y₂ + y₁x₂) - x₁(y₁y₂ - x₁x₂)= cos θ₂ sin θ₁ + sin θ₂ cos θ₁

運用勾股定理，得到：

sin² θ₁ + cos² θ₁ = sin² θ₂ + cos² θ₂ = 1將 x₁ 和 y₁ 代入第二個等式得到：

cos(θ₁ + θ₂) = x₁y₂ + y₁x₂= x₁y₂ - y₁(x₁y₂ + y₁x₂) + y₁x₂= cos θ₁ cos θ₂ - sin θ₁ sin θ₂

差角公式：

使用和角公式和三角恆等式 sin (-θ) = -sin θ, cos (-θ) = cos θ 來證明。

sin(θ₁ - θ₂) = sin(θ₁ + (-θ₂))= sin θ₁ cos (-θ₂) + cos θ₁ sin (-θ₂)= sin θ₁ cos θ₂ - cos θ₁ sin θ₂

cos(θ₁ - θ₂) = cos(θ₁ + (-θ₂))= cos θ₁ cos (-θ₂) - sin θ₁ sin (-θ₂)= cos θ₁ cos θ₂ + sin θ₁ sin θ₂

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