簡化牛頓迭代計算公式

通過引入中間變量 g(x) = f(x) / f'(x)，牛頓迭代公式可簡化爲 x_n+1 = x_n - g(x_n)，這在 f'(x) 難以計算、目標方程複雜或需要快速近似解時特別有用。

簡化牛頓迭代計算公式

牛頓迭代法是一種用於求解非線性方程的強大方法。然而，它的公式對於某些應用來說可能過於複雜。下面介紹一種簡化牛頓迭代公式的方法，使得計算更加容易。

簡化公式

原始的牛頓迭代公式爲：

x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

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其中：

• x_n 是第 n 次迭代的近似解
• f(x) 是目標方程
• f'(x) 是 f(x) 的導數

通過引入一箇中間變量 g(x) = f(x) / f'(x)，可以簡化公式爲：

x_n+1 = x_n - g(x_n)

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推導

我們可以通過將 g(x) 代入原始公式來推導出簡化公式：

x_n+1 = x_n - (f(x_n) / f'(x_n))       = x_n - g(x_n)

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應用

簡化公式在以下情況下特別有用：

• 當 f'(x) 難以計算時
• 當目標方程是複雜函數時
• 當需要快速近似解時

例如，在求解 f(x) = x^3 - 1 = 0 時，原始的牛頓迭代公式需要計算 f'(x) = 3x^2。然而，使用簡化公式，我們可以避免計算導數，從而簡化計算過程。

注意

雖然簡化公式簡化了計算，但需要注意以下幾點：

• 對於某些方程，簡化公式可能導致收斂速度較慢。
• 簡化公式只適用於一元方程的求解。

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