牛頓迭代公式作用 牛頓迭代公式作用和意義是什麼

牛頓迭代法是一種高效的數值方法，用於求解非線性方程根。它利用泰勒展開式構建局部線性近似值來逼近根，每次迭代都會產生更接近實際根的新近似值。牛頓迭代法具有快速收斂、穩定性高等優點，廣泛應用於科學、工程和金融等領域。

牛頓迭代法的作用

牛頓迭代法是一種求解非線性方程根的高效數值方法。

原理：

牛頓迭代法基於泰勒展開式，利用一個方程的局部線性近似值來逼近它的根。具體來說，對於一個非線性方程 f(x) = 0，在初始值 x0 附近的泰勒展開式爲：

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)

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令 f(x) = 0，可得：

x ≈ x0 - f(x0) / f'(x0)

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作用：

牛頓迭代法利用這個線性近似值來計算新的近似值 x1，x1 再用於計算 x2，以此類推，直至滿足一定的精度要求。每次迭代後，新近似值都會更接近方程的實際根。

意義：

牛頓迭代法具有以下重要意義：

• 快速收斂：對於許多非線性方程，牛頓迭代法的收斂速度非常快，通常是二次收斂。
• 穩定性：在某些條件下，牛頓迭代法可以保證收斂到根。
• 廣闊的應用：牛頓迭代法廣泛應用於科學、工程和金融等各個領域，例如求解多項式根、優化問題和數值積分。

示例：

考慮方程 x^2 - 2 = 0。使用牛頓迭代法求解如下：

• 初始值 x0 = 1
• x1 = x0 - f(x0) / f'(x0) = 1 - (1^2 - 2) / 2*1 = 1.5
• x2 = x1 - f(x1) / f'(x1) = 1.5 - (1.5^2 - 2) / 2*1.5 = 1.4167
• ...

繼續迭代，我們將得到更接近根 √2 的近似值。

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