單射和滿射的定義是什麼區別

單射是對於不同的輸入元素，對應的輸出元素也不同；滿射是函數的值域等於輸出元素集合。例如：f(x) = x^2 是單射但不是滿射，因爲負數沒有平方根；g(x) = x^2 是滿射但不是單射，因爲不同的正數對應相同的輸出值；h(1) = a，h(2) = b，h(3) = c 是單射且滿射。

單射和滿射的定義

定義：

單射（一對一映射）：一個函數 f: A → B 被稱爲單射或一對一映射，當且僅當對於 A 中的任意兩個不同元素 a 和 b，f(a) 和 f(b) 也不同，即 f(a) ≠ f(b)。

滿射（滿射映射）：一個函數 f: A → B 被稱爲滿射或滿射映射，當且僅當對於 B 中的任意元素 b，都存在一個 A 中的元素 a 使得 f(a) = b。換句話說，f 的值域等於 B。

區別：

• 單射關注函數對輸入元素的區分能力，即不同的輸入元素對應不同的輸出元素。
• 滿射關注函數對輸出元素的覆蓋能力，即函數的值域包含整個 B 集合。

例如：

• 函數 f: R → R，定義爲 f(x) = x²，是單射但不是滿射（因爲負數沒有平方根）。
• 函數 g: R → [0, ∞)，定義爲 g(x) = x²，是滿射但不是單射（因爲不同的正數對應相同的輸出值）。
• 函數 h: {1, 2, 3} → {a, b, c}，定義爲 h(1) = a，h(2) = b，h(3) = c，是單射且滿射，因爲不同的輸入對應不同的輸出，且輸出值覆蓋了整個 B 集合。

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