函數單調性的求法和步驟

函數單調性的求法涉及以下步驟：求導數並確定導數的正負性，正則單調遞增，負則單調遞減。根據導數的正負性劃分單調區間。在導數爲零的點求二階導數，大於零則爲極小值點，小於零則爲極大值點。利用單調性和極值點繪製函數圖像。

函數單調性的求法和步驟

函數單調性的求法主要涉及以下步驟：

1. 求導數

求出函數的一階導數，記爲 f'(x)。

2. 確定導數的正負性

• 如果 f'(x) > 0，則函數在 x 處單調遞增。
• 如果 f'(x)
• 如果 f'(x) = 0，則函數在 x 處可能有極值，需要進一步分析。

3. 確定單調區間

根據導數的正負性，將 x 軸劃分爲若干個區間。對於每個區間，函數的單調性保持一致。

4. 確定極值點

在 f'(x) = 0 的點處，求出函數的二階導數 f''(x)。

• 如果 f''(x) > 0，則該點是極小值點。
• 如果 f''(x)

5. 繪製函數圖像

利用函數的單調性和極值點，可以繪製出函數圖像，清楚地顯示函數的變化趨勢。

例題：求函數 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 的單調性。

解：

1. 求導數：f'(x) = 3x^2 - 6x

2. 確定導數的正負性：

   • 當 x
   • 當 x > 0 時，f'(x) > 0，函數單調遞增。
3. 確定單調區間：(-∞, 0) 單調遞減，(0, ∞) 單調遞增。
4. 確定極值點：在 x = 0 處，f'(x) = 0，f''(x) = 6 > 0，因此 x = 0 處有極小值。

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