三角函數和差角公式推導過程

三角函數和差角公式推導：以單位圓定義三角函數，推導出加法角公式。將加法角公式推廣到和差角公式，通過代入 β = -γ。利用代數恆等式 cos(-θ) = cos θ 簡化和差角餘弦公式，得到 cos(α - γ) = cos α cos γ + sin α sin γ。

三角函數和差角公式推導

問題：三角函數和差角公式如何推導？

推導過程：

步驟 1：單位圓定義和角度的幾何意義

以單位圓爲基礎，定義三角函數正弦、餘弦和正切：

• 正弦（sin）：從原點到終止邊與 x 軸交點的縱座標。
• 餘弦（cos）：從原點到終止邊與 x 軸交點的橫座標。
• 正切（tan）：正弦與餘弦之比。

步驟 2：加法角公式

考慮兩個角 α 和 β，使用單位圓定義，我們可以推導出加法角公式：

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin βcos(α + β) = cos α cos β - sin α sin βtan(α + β) = (sin α cos β + cos α sin β) / (cos α cos β - sin α sin β)

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步驟 3：推廣到和差角公式

通過代入 β = -γ，我們可以將加法角公式推廣到和差角公式：

sin(α - γ) = sin α cos γ - cos α sin γcos(α - γ) = cos α cos γ + sin α sin γtan(α - γ) = (sin α cos γ - cos α sin γ) / (cos α cos γ + sin α sin γ)

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步驟 4：簡化和差角餘弦公式

使用代數恆等式 cos(-θ) = cos θ，我們可以簡化和差角餘弦公式：

cos(α - γ) = cos α cos γ + sin α sin γ

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