三角函數和差公式推導圖解

三角函數和差公式推導爲：正弦和差公式：sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b餘弦和差公式：cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b正切和差公式：tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a tan b)

三角函數和差公式推導圖解

問題： 如何推導三角函數和差公式？

推導：

和差公式：

sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B

cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B

tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)

圖解：

推導過程：

正弦和差公式：

• 在單位圓上，點 (x1, y1) 表示角 A 的正弦和餘弦。
• 另一個點 (x2, y2) 表示角 B 的正弦和餘弦。
• 考慮點 (x1 + x2, y1 + y2)，表示角 (A + B) 的正弦和餘弦。

• sin(A + B) = y1 + y2 = sin A cos B + cos A sin B

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• 同理，可推導出 sin(A - B)。

餘弦和差公式：

• 考慮點 (x1 - x2, y1 - y2)，表示角 (A - B) 的正弦和餘弦。

• cos(A - B) = x1 - x2 = cos A cos B + sin A sin B

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• 同理，可推導出 cos(A + B)。

正切和差公式：

• 正切函數由正弦函數和餘弦函數定義：tan A = sin A / cos A。
• 根據正弦和餘弦和差公式，可以推導出正切和差公式。

• tan(A ± B) = (sin A ± sin B) / (cos A ± cos B)         = ((sin A / cos A) ± (sin B / cos B)) / (1 ± (sin A / cos A)(sin B / cos B))         = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)

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