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三角函數兩角和差公式推導

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三角函數兩角和差公式定義了兩個角度的正弦或餘弦的和差與其各自正弦或餘弦之積的關係。和角公式爲:$$sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b$$差角公式爲:$$sin(a-b) = sin a cos b - cos a sin b$$推導過程分別利用加法角和減法角公式,在單位圓上進行三角形旋轉和代換,最終得到公式。

三角函數兩角和差公式推導

定義:三角函數兩角和差公式描述了兩個角度正弦或餘弦的和差與各自正弦或餘弦之積的關係。

和角公式:

$$sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$$

差角公式:

$$sin(A-B) = sin A cos B - cos A sin B$$

推導:

和角公式推導:

  • 使用加法角公式將 $A+B$ 表示爲 $C$:

    $$sin(A+B) = sin C$$

  • 在單位圓上,令相鄰邊爲 $x$,對邊爲 $y$,半徑爲 $r$。
  • 對於角度 $A$:

    $$sin A = rac{y}{r}, cos A = rac{x}{r}$$

  • 對於角度 $B$:

    $$sin B = rac{y'}{r}, cos B = rac{x'}{r}$$

  • 其中 $y'$ 和 $x'$ 分別是與角度 $B$ 對應的對邊和相鄰邊。
  • 將單位圓旋轉 $A$ 度得到 $C$ 點,其中:

    $$x = x' cos A - y' sin A$$

    $$y = x' sin A + y' cos A$$

  • 代入三角函數的定義:

    $$sin C = rac{y}{r} = rac{x' sin A + y' cos A}{r}$$

    $$cos C = rac{x}{r} = rac{x' cos A - y' sin A}{r}$$

  • 代入 $A$ 和 $B$ 的三角函數定義,得到:

    $$sin C = sin A cos B + cos A sin B$$

差角公式推導:

  • 遵循與和角公式類似的推導過程。
  • 首先將 $A-B$ 表示爲 $D$:

    $$sin(A-B) = sin D$$

  • 在單位圓上,令相鄰邊爲 $x$,對邊爲 $y$,半徑爲 $r$。
  • 對於角度 $A$:

    $$sin A = rac{y}{r}, cos A = rac{x}{r}$$

  • 對於角度 $B$:

    $$sin B = rac{y'}{r}, cos B = rac{x'}{r}$$

  • 將單位圓旋轉 $A$ 度得到 $D$ 點,其中:

    $$x = x' cos A + y' sin A$$

    $$y = y' cos A - x' sin A$$

  • 代入三角函數的定義:

    $$sin D = rac{y}{r} = rac{y' cos A - x' sin A}{r}$$

    $$cos D = rac{x}{r} = rac{x' cos A + y' sin A}{r}$$

  • 代入 $A$ 和 $B$ 的三角函數定義,得到:

    $$sin D = sin A cos B - cos A sin B$$

以上就是三角函數兩角和差公式推導的詳細內容,更多請關注本站其它相關文章!

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