三角函数两角和差公式推导

三角函数两角和差公式定义了两个角度的正弦或余弦的和差与其各自正弦或余弦之积的关系。和角公式为：$$sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b$$差角公式为：$$sin(a-b) = sin a cos b - cos a sin b$$推导过程分别利用加法角和减法角公式，在单位圆上进行三角形旋转和代换，最终得到公式。

三角函数两角和差公式推导

定义：三角函数两角和差公式描述了两个角度正弦或余弦的和差与各自正弦或余弦之积的关系。

和角公式：

$$sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$$

差角公式：

$$sin(A-B) = sin A cos B - cos A sin B$$

推导：

和角公式推导：

• 使用加法角公式将 $A+B$ 表示为 $C$：

  $$sin(A+B) = sin C$$

• 在单位圆上，令相邻边为 $x$，对边为 $y$，半径为 $r$。

• 对于角度 $A$：

  $$sin A = rac{y}{r}, cos A = rac{x}{r}$$

• 对于角度 $B$：

  $$sin B = rac{y'}{r}, cos B = rac{x'}{r}$$

• 其中 $y'$ 和 $x'$ 分别是与角度 $B$ 对应的对边和相邻边。

• 将单位圆旋转 $A$ 度得到 $C$ 点，其中：

  $$x = x' cos A - y' sin A$$

  $$y = x' sin A + y' cos A$$

• 代入三角函数的定义：

  $$sin C = rac{y}{r} = rac{x' sin A + y' cos A}{r}$$

  $$cos C = rac{x}{r} = rac{x' cos A - y' sin A}{r}$$

• 代入 $A$ 和 $B$ 的三角函数定义，得到：

  $$sin C = sin A cos B + cos A sin B$$

差角公式推导：

• 遵循与和角公式类似的推导过程。

• 首先将 $A-B$ 表示为 $D$：

  $$sin(A-B) = sin D$$

• 在单位圆上，令相邻边为 $x$，对边为 $y$，半径为 $r$。

• 对于角度 $A$：

  $$sin A = rac{y}{r}, cos A = rac{x}{r}$$

• 对于角度 $B$：

  $$sin B = rac{y'}{r}, cos B = rac{x'}{r}$$

• 将单位圆旋转 $A$ 度得到 $D$ 点，其中：

  $$x = x' cos A + y' sin A$$

  $$y = y' cos A - x' sin A$$

• 代入三角函数的定义：

  $$sin D = rac{y}{r} = rac{y' cos A - x' sin A}{r}$$

  $$cos D = rac{x}{r} = rac{x' cos A + y' sin A}{r}$$

• 代入 $A$ 和 $B$ 的三角函数定义，得到：

  $$sin D = sin A cos B - cos A sin B$$

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